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ATLAS at Anywhere (旧 ATLAS at Osaka)

モンティ・ホールと感染者数問題

今日は昼飯時とATLAS Osakaグループミーティングの時と、1日に2回もモンティ・ホール問題で盛り上がってしまいました。詳しい説明はググってもらえばWikipediaあたりで詳しく説明されてるので、それを見てください。

簡単に説明してみます。箱が3つ(A,B,C)あってその中の1個にだけ景品が入っています。あなたが、例えば、Aを選んだとします。するとどの箱に景品が入っているかを知っている人がBとCのどちらか一方を開けてくれます。ここで重要なのは、その人は必ず空き箱を開けます。もしAが当たりなら、BでもCでも構いません。しかし、B(C)が当たりなら必ずC(B)を開けます。その後、あなたはAを選択し続けても構いませんし、BとCでまだ開けられていないほうを選んでも構いません。さて、景品が当たる確率は、Aを選び続けたほうが高いのか、それともBあるいはCの開けられていないほうを選ぶほうが高いのか、それともどっちも同じなのか、というのが問題です。(答えは書きません。)

で、この問題の答えについて一生懸命説明するのですが、なかなかその答えをみんな受け入れてくれないんですね。研究員の人なんて、場合分けをして考えると私が言ってる答えが正しいことはわかるのだが、どうしても直感的に受け入れられない、という具合です。そこで、場合分けをしないでも直感的に理解しやすい上手い説明がないかとググってみたところ、結局、上手い説明には辿り着かなかったのですが、感染者問題というのもあって、これも数学的には同じアプローチなのですが、直感的には断然こっちのほうがわかりやすいんですね。なぜ同じ数学的アプローチなのに、理解のしやすさがこんなにも違うんだろう、とimpressiveだったのでこっちも紹介しておきます。

ある国で1000人に1人の割合である病気にかかっているとします。この病気にかかっているかどうかを検査する薬があって、もし病気にかかっている場合は98%の確率で陽性反応、かかっていない場合は99%の確率で陰性反応になります。ここで、ある人がその検査をしたところ陽性反応が出てしまいました。この人がその病気に感染している確率は何%でしょう?というのが問題です。

陽性反応が出るのは、病気にかかっていてかつ陽性反応(確率は0.001x0.98=0.00098)が出る場合と、病気にかかっていないのに陽性反応が出てしまう(確率は0.999x0.01=0.00999)場合の2通りです。なので本当に病気にかかっている確率は0.00098/(0.00098+0.00999)=0.089…つまり8.9%の確率でしかありません。

陽性反応が出たらすぐに病気にかかってしまったと思ってしまいがちですが、実は病気にかかっている人の割合と、検査が正しい確率とを考え合わせると、本当に病気にかかっている確率というのはそれほど高くない、というのが(きちんと確率を考えない場合の)この問題の面白さだと思うのですが、一旦きちんと考えようと思えば、考え方自体は非常に素直で直感に即した答えです(よね?)。モンティ・ホール問題とは対照的です。


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